信号与系统基础

LTI系统和信号变换

系统应定义为现实中的一个对象,具有一定的功能,变换输入-输出,可以根据性质用数学方法去描述。

生活中随处可见各种各样的信号,光,电,声,而实际上信号是信息的载体。在当今的信息化时代,信息流通无处不在,于是信号也无处不在。

从数学的角度看,信号其实就是关于自变量的函数,信号可以称为因变量,自变量可以取时间,或是空间等。

那么信号的定义可以推广,一切因变量和自变量的函数关系亦可以称之为信号,研究信号往往正是为了“读懂”其载有的信息。

也有类特殊的信号,不如称之为“驱动信号”,用以驱动和控制,对其处理并不是为了读取信息,而是为了改造信号,使得能够驱动系统正常工作。

信号的处理,实际上就是系统对信号的函数变换,若信号取x(t),那么处理过后的信号其实就是关于t的复合函数。

在信号与系统相互作用的过程中,就产生了系统的响应。同时由于信号和系统的作用是相互的,也称信号与系统具有同一性。

信号、系统都具有一定的数学描述,而数学的描述在生活中必然可以找到相应的解释,通过解释又可以反过来加深对信号与系统的理解。

研究系统,处理信号的目的,无非是提取信息,加以控制,是维纳所说cybernetics的另一个角度的阐释。

LTI系统

实际中的系统复杂多样,但是为了方便地引入一些数学上的理论和方法,常假设系统为LTI(linear time invariant)系统。

线性时不变系统,顾名思义,有两个重要性质,线性和时不变性质。

线性,即齐次性和叠加性,因此可以对输入(信号)进行分解,对分解后的信号部分分别进行变换,再将变换的结果(响应)叠加。又由于有齐次性,因此只需对单位信号进行数学上的研究即可。

数学表述如下:

\(x_{1}(t)\rightarrow y_{1}(t) \ \ x_{2}(t)\rightarrow y_{2}(t)\Rightarrow k_{1}x_{1}(t)+k_{2}x_{2}(t)\rightarrow k_{1}y_{1}(t)+k_{2}y_{2}(t)\)

时不变性质,即相同的信号不论时刻输入系统得到的都是同样的响应,并且卷积运算推导正是建立在这个性质之上的。

数学表述如下:

\(x(t)\rightarrow y(t)\Rightarrow x(t-t_{0})\rightarrow y(t-t_{0})\)

信号变换

以时间为自变量为例,连续信号可以设为x(t),离散信号可以设为x(n),仅以连续为例分析。

平移变换:\(x(t\pm t_{0})\)

信号在时域上平移,左+右-,对应于延时或超前。

反转变换:x(-t)

如果系统处理信号可以看作一个顺序的过程,那么对折后的信号处理就相当于一个倒放的过程。

尺度变换:x(\(\left | a \right |\)t)

\(\left | a \right |>1\)对应于信号的压缩,\(\left | a \right |<1\)对应于信号的扩展。可以理解为快放或者慢放信号的过程。

冲激信号与卷积

卷积的推导

信号有离散,连续之分,离散即为x[n],连续记为x(t),由高等数学知识可知连续的定义是在离散基础之上所取的极限。

而连续函数又可以通过采样变成离散函数,由冲激函数的采样性质可知采样函数实际上可以近似为冲激串函数\(\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (n-k)\)(1)

那么离散函数就可以表示成

\(x[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\delta (n-k)\)(2)

定义当输入为单位冲激函数时的响应叫做单位冲激响应h(n),零状态时记为\(h_{0}(n)\)。

则有\(\delta (0)\rightarrow h_{0}(n)\)(3)

又线性系统具有叠加性质,则由(2)式可得系统响应为:

\(y[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h_{k}[n]\)(4)

其中\(\delta [n-k]\rightarrow h_{k}[n]\)

系统具有时不变性质,即

\(x(t)\rightarrow y(t)\Rightarrow x(t-t_{0})\rightarrow y(t-t_{0})\)

故有 \(\delta [n]\rightarrow h_{0}[n]\Rightarrow \delta [n-k]\rightarrow h_{0}[n-k]\)(5)

即\(h_{k}[n]=h_{0}[n-k]\)代入(4)式得:

\(y[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h_{0}[n-k]\)(5)

上式即为卷积和,也可以记作y[n]=x[n]*h[n] (6)

连续信号x(t)推导卷积过程类似,只不过需要先借助冲激函数的采样性质将其离散化。

有两种办法,一种是利用阶梯式的冲激信号求取后取极限,而另一种是直接写出\(x(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta(t-\tau )d\tau \)

接着利用线性时不变性质可以推得连续信号的卷积积分:

\(y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau =x(t)*h(t)\)(7)

卷积的理解

线性系统中,根据叠加性质,可以将输入分解成基本信号的线性组合,然后这些基本信号的各自响应之组合就是实际的响应。

为此,希望这个基本信号有如下特点:

  • 基本信号能够组成相当广泛的一类信号;
  • LTI系统对每一个基本信号的响应应十分简单;

一个线性时不变系统的性质可以由冲激响应来表征,正是由于这点,才将信号分解成冲激函数串的形式。

很自然地用冲激信号作为基本信号,从而推导出卷积和以及卷积积分。

卷积实际上是将输入信号x[n]进行分解,分别得到冲激响应,然后利用叠加定理对输入信号加权移位得到输出信号。

而这个权值与各个分解后的信号关于n时刻的差值有关,可以理解为x[k]从k时刻输入对n时刻的影响。

但是卷积的数学推导是借助系统线性时不变的性质而来的,故这种理解仅局限于线性时不变系统。

同时,卷积是一种对原信号加权移位的运算,联系后续时频分析可知这也是理解时域采样相当于频域周期延拓的关键。

卷积的性质

交换律

\(x(t)*h(t)=h(t)*x(t)\)

上述这个式子是理解信号与系统同一性的关键,系统处理信号本就是相互作用的过程,可利用此性质求逆变换。

分配律:

\(x(t)*(h_{1}(t)+h_{2}(t)=x(t)h_{1}(t)+x(t)*h_{2}(t)\)

上式说明LTI系统的并联可以用一个单一的LTI系统来替代,并且,而单一系统的单位冲激响应是并联联结的各个单位冲激响应之和。

结合律:

\(x(t)*h_{1}(t)*h_{2}(t)=x(t)*(h_{1}(t)*h_{2}(t))\)

上式说明LTI系统的级联特性,次序交换不影响响应,同时相互传递的关系也借此定义出了传递函数。

复指数信号和傅里叶分析

概述

根据LTI系统性质,当选取基本信号为冲激信号时可以推导出卷积,那么是否有另外一种基本信号的选取方式呢?

傅里叶指出任何一个周期函数都可以用三角级数表示,然而太过宽泛,狄里赫利进一步给出了精确的条件。只有满足狄里赫利条件时,一个函数才可以展开为傅里叶级数。

又根据由无穷级数推导而成的最美公式欧拉公式,三角函数信号可以与复指数信号相互转换,故仅以推导复指数信号为例。

三角函数的一个特殊之处在于其加减乘除或是微积分运算,频率都不变对应于复指数信号而言,复指数函数是LTI系统的特征函数。这实际上是维纳在控制论里提及的“平移下不变式”。

对应于复指数信号而言,复指数函数是LTI系统的特征函数。可以利用响应的卷积积分形式,令\(x(t)=e^{st}\),可以推得:

\(y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau=e^{st}\int_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau=e^{st}H(s)\)

于是复指数函数是LTI系统的特征函数,那么输入信号转换为一系列基本信号的组合,然后根据组合的加权系数的输出即为响应。

离散时间LTI系统类似可得\(y[n]=z^{n}\sum_{-\infty }^{+\infty }h[k]z^{-k}=H(z)z^{n}\)

复指数信号可以借由数学工具——向量进行理解,傅里叶变换所分解的基本信号是特殊的起点在原点,终点在单位圆上的向量。

那么傅里叶变换其实就是分解为一个个以不同速率进行旋转的圆,再进行向量上的相加。

实际生活中的信号都是实信号,可以借助希尔伯特变换转换为复指数信号,变换本质是相位移动90°,可以结合欧拉公式的cos和jsin进行理解。

FS傅里叶级数和DFS离散傅里叶级数

由上述推导可知问题的关键在于将x(t)分解成基本信号的加权组合形式。

首先考虑的是周期信号,以三角函数出发,欲想x(t)为周期函数,各个基本信号必须为周期,为此选取成谐波关系的复指数信号组合。

即\(x(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}t}=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{T}t}\)

为求解\(a_{k}\),利用复指数信号的正交性,将x(t)乘以\(e^{-jnw_{0}t}\),再0到T积分,可得:

\(\int_{0}^{T}x(t)e^{-jnw_{0}t}dt=\int_{0}^{T}\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{-j(k-n)w_{0}t}dt\)

交换积分与级数次序得:

\(\int_{0}^{T}x(t)e^{-jnw_{0}t}dt=\sum_{-\infty }^{+\infty }\int_{0}^{T}a_{k}e^{-j(k-n)w_{0}t}dt\)

由复指数信号正交性,仅k=n时,\(\int_{0}^{T}e^{-j(k-n)w_{0}t}dt\)=T,否则为0。

故有\(\int_{0}^{T}x(t)e^{-jnw_{0}t}dt=a_{k}T\)

得加权系数\(a_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jnw_{0}t}dt\)

再代入x(t)表达式,得一个周期内连续时间信号的傅里叶级数。

周期函数可以用三角函数拟合,并且输出线性组合中的加权系数是直接与输入中对应的系数有关的,为此系统处理信号可以理解为对加权系数进行运算的过程。

可以证明用傅里叶级数拟合能量有限的周期信号,没有能量上的差别。

离散周期信号的傅里叶级数类似可得,不同之处在于基本的离散复指数信号\(e^{j\frac{2\pi}{N}n }\)是以N为周期的函数,故仅需用连续的N项作为基本信号组合即可。

而这一点,反映到频域,就是频域的周期延拓本质。

反观连续信号需要无穷级数去拟合,值得细说的是拉格朗日当初反对三角级数拟合周期函数就是由于认为不能拟合方波这一类有特殊间断点函数。

而事实上,用有限的三角级数拟合连续方波信号时会在间断点处出现吉布斯现象,但无穷的则是理论上可以拟合。离散的三角级数则无这一个现象,就是由于其基本特征信号仅有N项。

FT傅里叶变换和DTFT离散时间傅里叶变换

上述FS和DFS考虑的都是周期信号不具有普遍性,故信号的范围需推广到非周期信号,由此引入了FT和DFFT,本质就是极限下的积分。

傅里叶又指出非周期信号可以考虑为周期为无穷大的周期信号,若周期无穷大,则基波频率近似于0,换言之频域连续。

令非周期函数\(\tilde{x}(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}t}\)

对应的系数\(a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{jkw_{0}t}dt\)

由于在t<|T/2|时,\(\tilde{x}(t)=x(t)\),而其余地方为零,所以可将系数改写为:

\(a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{jkw_{0}t}dt=\frac{1}{T}X(jkw_{0})\)

回代入\(\tilde{x}(t)\)得:

\(\tilde{x}(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X(jkw_{0})e^{jkw_{0}t}\)

又\(T=\frac{2\pi }{w_{0}}\),则有:

\(\tilde{x}(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2\pi }X(jkw_{0})e^{jkw_{0}t}w_{0}\)

非周期信号,\(T\rightarrow \infty \Rightarrow w_{0}\rightarrow 0\)

故可以有积分的极限定义,将级数改写为积分形式,有

\(x(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }X(jw)e^{jwt}dw\)

这就是所谓的傅里叶逆变换公式,其中\(X(jw)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jwt}dt\)即为傅里叶变换。

离散非周期信号的傅里叶变换公式类似可以推得,DTFT与FT的关系同DFS和FS间的关系。

上述推导仅局限于非周期信号的傅里叶变换,而实际上借助于冲激函数的采样性质,可以将周期信号的傅里叶变换表示成冲激串的形式,而第k次谐波\(kw_{0}\)上的冲激函数的面积,是第k个傅里叶级数系数\(a_{k}\)的2\(\pi\)倍。

那么傅里叶变换的方法就推广到了只要满足狄里赫利条件的广大函数,用傅里叶变换研究时频关系的方法就成为了一套体系,称之为“傅里叶分析”。

DFT离散傅里叶变换和FFT快速傅里叶变换

数字信号处理的都是离散的数字信号,不论是在时域或是频域,因此想到对DTFT离散时间傅里叶变换进行频域采样。

若频域采样点数和时域采样点数相同,则为DFT离散傅里叶变换,同时,这也是抽样频率设计法的原理,可以用此设计FIR滤波器。

回想起之前的傅里叶级数,也是由离散到离散,那么离散DFS和DFT有何区别呢?若仅仅是形式上的不同,则可以借助欧拉公式将三角和复指数转换。

但注意到,DFS前提是信号为周期信号,而DFT处理的信号则不是,但实际中不可能取点数N为无穷,因此DFT处理的信号也是点数有限的信号,而频域采样通过卷积公式可以理解为时域周期延拓。

因此可以得到结论,DFS和DFT本质相同,描述角度不一样。

DFS是对周期信号进行的变换,而DFT是截断采样原信号,并将截断得到的信号进行周期延拓假想为周期信号继而进行的变换。

拉氏变换和Z变换

拉氏变换

傅里叶变换实际上是由特殊复指数信号推导而来的,这类复指数信号特殊之处在于幅值为1,即为单位圆上的信号。

同时,这类信号也是连续的信号,但是,傅里叶变换存在条件,即原函数需要绝对收敛,而这个条件相对来说苛刻,很多函数信号都不满足这样的条件。

因此联想到了拉式变换,即傅里叶变换中的w扩展到s域,为\(s=\sigma +j\omega\),则拉式变换变为\(L[f(t)]=\int f(t)e^{-st}dt\)。

进一步可化为:\(L[f(t)]=\int f(t)e^{-st}dt=\int f(t)e^{-\sigma t }e^{-j\omega t }dt\),相当于对\(f(t)e^{-\sigma t }\)进行傅里叶变换。

而只要复指数指数部分的实部取的适当,可以将新的原函数变为绝对可积,满足了傅里叶变换的要求,那么频域变换的适用范围就得到了拓宽。

一般来说,拉式变换用于原函数为连续函数的情况,但是借助冲激函数的采样性质,对离散原函数加以用加权冲激串表示的形式,则也能进行拉式变换。

拉氏变换,常用含储能元件的电路求解,只需将连续微分方程取其拉氏变换,考虑0-初值,便可求得线性微分方程的任意解。

电路中,电感元件和电容元件若有初始储能,则拉式变换之后的模型含有电源,这个电源有一定的物理含义,或为磁链守恒,或为电荷守恒。

连续域的系统性能分析与综合,以及相关拉式变换的应用,应结合自动控制原理部分内容加以理解和应用。

Z变换

奥本海默的信号与系统在讲授复指数信号的时候分为连续和离散进行考虑,而连续的信号能够推导出完整的傅式分析法,至于离散的信号则能推导出Z变换。

Z变换是用于离散信号的频域变换,有自身的约束条件,可以借助等比级数求和公式进行理解,需要公比的绝对值小于1,有其收敛域(ROC)。

离散域的性质是数字信号研究的重点,与连续系统闭环传递函数不能将极点配置在负无穷远处不同,离散域可以借助数字软件实现极点为0,因此有了FIR滤波器的设计。

和连续域配置极点类似的滤波器则称之为IIR滤波器,因此IIR滤波器可以借助先在s域设计,然后借由冲激响应不变法或是双线性变换将其转化到z域成为离散系统滤波器。

至于FIR滤波器的设计,由于冲激响应有限,因此可以用频域相乘等于时域卷积,然后借由相乘的函数,进行有限项的时域卷积得到。根据频域相乘的函数不同,有巴特沃斯、切比雪夫、椭圆滤波器等。

z变换是将离散量变为离散量,而DFT离散傅里叶变换也是将离散量变为离散量,二者是否有所联系呢?

实际上,DFT是单位圆上的z变换,而拉式变换是连续傅里叶变换的推广,离散又可以理解为对连续的采样,因此还可以z变换还可以理解为采样拉式变换。

将系统借由传递函数表示,写成向量的形式,借助z变换的零极图可以设计简单滤波器,设零点,限制对应频段通过,设极点,期望对应频段通过。

z变换中有延时因子\(z^{-1}\),在底层硬件中,很容易由移位寄存器来实现,因此将一个系统的传递函数写出之后,就可以根据级数展开式设计对应结构,由硬件,或软件编程实现系统。

经典控制理论

输入输出模型

概述

经典控制理论研究的是线性系统,主要是由于线性系统的叠加性和齐次性,使得系统在激励下的相应可以分解为零状态和零输入两类,便于物理意义上的理解。

人们控制的最初目的很单纯,设计一个机构使控制对象输出量稳定,只关心在指定信号下输出信号是否符合要求。

当然对瞬态性能和稳态性能的要求必须建立在系统稳定的基础之上。

系统的稳定性是对系统本身的研究,而系统的暂态性能,稳态性能则是在常见激励信号下对系统响应的研究(通常选取阶跃信号)。

怀着这样的思想,便可以利用已知的物理定理,抓住主要矛盾,将现实中的事物抽象成数学模型,再利用一定的数学方法加以研究。

在自动控制原理基础部分主要研究连续域,至于离散域则放到数字信号处理部分详细研究。

微分方程

导数表征变化,而积分表征记忆,可以利用数学物理方法建立线性微分方程,其中自变量为输入,因变量为输出。

通常对系统的每个模块独立建模,再利用模块即环节之间的传递关系约去中间变量,只保留我们希望研究的输入-输出变量。

传递函数

由复变函数的拉式变换可以将微积分运算巧妙地转化为代数运算,而输入与输出的关系也可以化简为含s的代数方程,于是人们将输出的拉式变换和输入的拉氏变换之比称为传递函数。

事实上,一个系统的传递函数就是这个系统的冲激响应的拉氏变换,可以结合信号与卷积进行理解。

然而,传递函数局限于零状态和单输入单输出系统。

方框图

完整的控制系统包括控制器、控制对象、测量元件、比较元件、方法元件等,将每个模块所抽象而成的传递函数彼此按照逻辑连接,得到方框图。

作用在于和现实中的对象一一对应,方便理解和设计对应环节,以及表示系统的互联。

信号流图

在信号学科中用以表示信号的流通及连接关系,和方框图作用等效,方便之处在于可以通过梅森公式求得输入-输出的传递函数,而不局限于单输入-单输出模型。

而梅森公式的推导则是借助了线性代数中的克拉默法则。

根轨迹

传递函数可以用零极点唯一表征,当零极点确定之后,能改变的增益称为根轨迹增益,而相应特征根的变化也随之形成了根轨迹。事实上零极点的位置分布也决定着系统的性能。

当时域性能不满足要求时,可以借助根轨迹进行校正。

奈奎斯特图

引入傅里叶变换后,将时域问题转化为频域进行分析,系统传递函数令s=jw转换为频域下的形式,以此方便研究频域下的性能。

由复变函数中的柯西幅角定理可以得到奈奎斯特判据,方便从频域角度判断系统的稳定性。

伯德图

将频率特性下的传递函数分为幅值和相角研究,并以dB为单位研究幅值,以此将传递函数的乘除变为加减运算。这样画作的图称为伯德图,可以轻易地从图中看出幅值的线性变化关系并计算相应的频域性能指标。

当频域性能不满足要求时,可以借助伯德图进行校正。

根轨迹法则推导

根轨迹概述

将变量方程借助拉普拉斯变换写成传递函数的形式,有

开环传递函数:\(G_{0}(s)\)

闭环传递函数:\(G(s)\)

如果是负反馈,闭环的特征式是\(1+G_{0}(s)\),可以结合梅森公式进行理解。

那么求闭环特征根,就变成了求解\(1+G_{0}(s)=0\)的解,改写成\(G_{0}(s)=-1\)。

s是一个复数,借助复变函数的知识可知即求解\(G_{0}(s)\)在复平面上幅值为1,幅角为180°的解。

实际上,如果这个回路是正反馈,闭环的特征方程就变为\(G_{0}(s)=1\)。即求解\(G_{0}(s)\)在复平面上幅值为1,幅角为0°的解。

所以,称负反馈时的根轨迹为180°根轨迹,而称正反馈时的根轨迹为0°根轨迹。

本文仅以推导180度根轨迹法则为例,0°根轨迹类似。

将开环传递函数形式改写为:

\(G_{0}(s)=\frac{K_{g}\prod_{i=1}^{m}(s+z_{i})}{\prod_{j=1}^{n}(s+p_{j})}=-1\),为保证因果性n应不小于m。

应用复变函数知识,得幅值条件:

\(\left |G_{0}(s) \right |=\frac{K_{g}\prod_{i=1}^{m}\left |(s+z_{i}) \right |}{\prod_{j=1}^{n}\left |(s+p_{j}) \right |}=1\) (1)

相角条件:

\(\sum_{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum_{j=1}^{n}\angle (s+p_{j})=-180^{\circ}(2k+1) \)(2)

其中幅值条件仅为必要条件,而幅角条件则为充要条件。

法则推导

根轨迹是闭环特征根的轨迹,而闭环特征根若有复根,必为共轭,成对出现,故得:

法则1:根轨迹对称于复平面上的实轴。

且实轴上的根轨迹较为特殊,成对出现的共轭复数对实轴上相角和为0。

若s为实轴上一试探点,s左方实轴上的开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0°,而s右方实轴上的开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180°,故得:

法则2:实轴上任意点,只要其右方开环零极点数为奇数,则必为根轨迹上的点。

由(2)式改写为\(\frac{\prod_{i=1}^{m}(s+z_{i})}{\prod_{j=1}^{n}(s+p_{j})}=\frac{-1}{k_{g}}\)(3)

可知\(k_{g}\rightarrow 0\Rightarrow s\rightarrow -p_{j},k_{g}\rightarrow \infty\Rightarrow s\rightarrow -z_{i}\)(4)

可得:

法则3:根轨迹起于开环传递函数极点,终于开环函数零点。

法则4:根轨迹共有n(开环极点数)条分支,m条终于开环零点,n-m条终于无穷远。

继续将(3)式改写为:

\(\frac{\prod_{i=1}^{m}(s+z_{i})}{\prod_{j=1}^{n}(s+p_{j})}=\frac{s^{m}+b_{m-1}+…+b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}+…+a_{1}s+a_{0}}=\frac{-1}{k_{g}}\)(4)

其中\(b_{m-1}=\sum_{i=1}^{m}z_{i},a_{n-1}=\sum_{j=1}^{n}p_{j}\)

\(k_{g}\rightarrow \infty ,s\rightarrow \infty \),(4)式可近似表示成:

\(s^{m-n}+(b_{m-1}-a_{n-1})s^{m-n-1}=\frac{-1}{k_{g}}\Rightarrow s(1+\frac{b_{m-1}-a_{n-1}}{s})^{\frac{1}{m-n}}=(\frac{-1}{k_{g}})^{\frac{1}{m-n}}\)(5)

将上式左半部分用牛顿二项式线性展开,取近似项可得:

\(s(1+\frac{1}{m-n}\frac{b_{m-1}-a_{n-1}}{s})=(\frac{-1}{k_{g}})^{\frac{1}{m-n}}\)(6)

令\(\sigma =\frac{a_{n-1}-b_{m-1}}{n-m}\),则(6)式可进一步改写为:

\(s=-\sigma +(-k_{g})^{\frac{1}{n-m}}\)(7)

事实上,这就是渐近线,为了更清楚地看出,引入复变函数相关知识,\(-1=e^{j180^{\circ}(2k+1)},k=0,1,2,…\)代入(7)式得:

得\(s=-\sigma +k_{g}^{\frac{1}{n-m}}e^{j180^{\circ}\frac{2k+1}{n-m}}\)(8)

可得:

法则5:n-m条终于无穷远处的根轨迹渐近线与实轴交点为\(-\sigma\),与实轴夹角为\(180^{\circ}\frac{2k+1}{n-m},k=0,1,2,…n-m-1\)

由法则2知实轴上根轨迹分布,然而,实轴上若有两相邻极点或零点时,再由法则3知必然有分离汇合点,且由法则1知根轨迹关于实轴对称。

可得:

法则6:分离点或汇合点处,根轨迹切线和实轴夹角为\(\theta_{d} =\frac{180^{\circ}}{k}\),至于位置可以借助特征方程的重根法或是幅角条件求得。

其中重根法借助于方程的导数,而幅角条件则借助于几何上的关系加以说明推导。

借助上述法则可以画出根轨迹的大致走向,若根轨迹与实轴相交,进而进入右半平面,则存在不稳定的情况。

对此,需求得临界根轨迹增益,以限定根轨迹调节范围,使系统稳定。

法则7:借助劳斯判据的全零行可以求得对应临界稳定状态的根轨迹增益\(k_{gp}\)。

事实上,7条法则已经足够发挥根轨迹的作用,判断稳定性或是借助根轨迹进行校正,使系统性能改善。

然而理论上往往追求细节美观,而法则3仅仅说明了根轨迹起始的位置,而根轨迹是一条轨迹,它的走向并没有说明。

于是,借助幅角条件,利用根轨迹上临近零极点的一点到零极点的连线近似为切线,并用切角代入幅角条件,并且临近零极点代入根轨迹上的点,得

法则8:在\(-p_{1}\)处的出射角为\(\varphi {x}=180^{\circ}+\sum_{i=1}^{m}\angle (-p_{1}+z_{i})-\sum_{j=2}^{n}\angle (-p_{1}+p_{j})\),在\(-z_{1}\)处的入射角为\(\varphi {y}=180^{\circ}+\sum_{j=1}^{n}\angle (-z_{1}+p_{j})-\sum_{i=2}^{m}\angle (-z_{1}+z_{i})\)

利用根轨迹法则可以轻松的手工计算根轨迹,然而更精细地可以借助matlab工具,毕竟人最大的优势在于创造和利用工具,提高效率。

推导根轨迹法则更多是为了理解如何将数学的思想体现在实际的工程数学化方法求解中。

时域分析与校正

时域分析

稳定性:对一个控制系统而言,首要的目标自然是稳定,而这个稳定又是对系统而言的,所以需要分析系统对应的模态。

实际上由现代控制理论可知这些模态对应的实际上就是闭环系统的特征值。

经典理论由微分方程解入手,只有系统的模态对应的实部全部为负值时系统才可以称之为稳定。

由劳斯判据可以得知根在复平面上的分布,以此确定稳定性。

从拉普拉斯变换得到的闭环传递函数,分母即为闭环特征方程,其根即为特征值,因此需要特征值实部全为负值。根轨迹恒在复平面左半平面。

瞬态性能:研究系统在输入后的响应到达稳态前的过渡过程变化,性能指标常见有:ts调节时间,tp峰值时间,\(\sigma%\)超调量等。

分析暂态性能通常以阶跃响应作为输入信号,原因在于阶跃响应与实际物理系统中的开关相对应,实验易得,并且线性系统任何信号都可以用阶跃信号去拟合。

研究的系统通常为二阶系统,分为欠、临界、过阻尼去分别研究,高阶系统可以选取闭环主导极点降阶成二阶系统。

事实上,根在复平面的左半面意味着复实部,稳定,更深入一步,根离虚轴越远,负实部越小,相应的模态\(e^{-st}\)变化越快。

而那些变化较慢,过渡时间较长的模态才往往是研究的重点,决定着响应曲线的变化。

稳态性能:由三要素系统无差度(含多少个积分环节)、输入信号类型和系统的开环增益K决定。

借助拉式变换的终值定理求解时域中值,系统无差度决定能跟踪的系统信号的阶次,而开环增益则可以改变稳态精度,通常开环增益越大,稳态误差越小。

误差是响应关于输出端的差值,而偏差则是响应关于输入端的差值,通常选取单位负反馈,因此二者相等。若不等,也只相差一个系数。

在求取误差时,借助公式结论可以简化过程,并可以结合梅森公式理解记忆。

输入和扰动的误差可以 叠加求得,由于扰动的方向性,因此取二者的绝对值之和为最终误差。

时域校正:

若系统的性能不满足要求,则需要校正,特别地由不稳定校正为稳定称之为“镇定”。

而系统的性能与闭环特征方程根的分布相对应,因此可以通过根轨迹使性能符合要求。

通常选用串联校正方式。

首先根据稳态性能要求确定校正环节开环增益,并在根轨迹上考察此时的根能否满足瞬态性能的要求。若满足,皆大欢喜。

若不满足,可以通过加零点极点使根轨迹通过希望的闭环主导极点,再确定相应得开环增益使之符合要求。

在开环系统中增加极点,可以使根轨迹向右方移动,从而降低系统的稳定性,增加系统响应的调节时间,所以一般不单独采取这种方式。

在开环系统中增加零点,可以使根轨迹向左方移动,作用与增加极点相反。

零点或极点,越靠近虚轴,对性能的影响越大,这可以从上文时域分析中“而那些变化较慢,过渡时间较长的模态才往往是研究的重点,决定着响应曲线的变化”此句进行理解。

超前校正采取零点影响大于极点的影响,以此在保留稳定性的基础上提高系统的瞬态性能。又考虑到校正装置的可实现性,也会增加一个极点但其影响作用小于零点。

若增设一对偶极子,即增设相临近的一对极点和零点,在传递函数中可以近似于零极点对消,因此几乎不会改变根轨迹的形状,即不影响系统的稳定性和瞬态性能。

但滞后校正采取的正是这种方式,若这对偶极子靠近原点,则可以改变开环增益,以此提升稳态性能,此处开环零点应相比极点远离虚轴。

当单独使用超前或校正环节均无法满足要求时,可以使用超前-滞后校正,步骤如下:

  • 1.根据给定性能指标,确定闭环主导极点位置
  • 2.根据根轨迹幅角缺额,借助几何知识确定超前校正环节,使根轨迹经过主导极点
  • 3.确定超前校正环节增益
  • 4.根据稳态性能指标确定滞后校正环节引入的偶极子关系

频域分析与校正

频域分析

傅里叶变换很好地将时域转化为频域从而进行分析,至于具体的变换过程,更多的是在数字信号处理这门学科中进行研究。

而事实上,由于三角函数的微积分运算不改变频率,因此可以用一正弦信号的响应与激励,拟合出系统频率特性的传递函数。

由系统未知,估算出系统的模型这一过程称之为“系统辨识”。

接着,便可以利用时域的方法进行分析,或是从频域的角度对频段进行抗干扰滤波设计,本文仅分析控制中系统的频率特性。

一般都是研究开环系统的频率特性图,原因在于开环系统为环节串联的形式,方便求取伯德图。

通常不希望相角滞后,这是由于根据拉普拉斯变换的时移性质,相角滞后对应于时域延迟,而时延大,即系统惯性大的场合对控制的要求更高,很难使其保持稳定。

稳定性:

由柯西幅角定理,可以得到奈奎斯特判据,简单推导如下:

设f(z)为简单闭曲线C上解析且不为零,在C的内部除去有限个极点外也处处解析,则可以根据复变函数知识,

构造函数\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}^{ }\frac{{f}'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}^{ }d(lnf(z))\)

=\(\frac{1}{2\pi i}\)[当z沿曲线C正向绕行一周时lnf(z)的改变量]

=\(\frac{1}{2\pi i}\)[当z沿曲线C正向绕行一周时ln|f(z)|的改变量+iArgf(z)的改变量]

而由于ln|f(z)|为单值函数,故正向绕行一周其值改变为零,那么上述函数的值仅与iArgf(z)的改变量有关。

需对曲线C进行讨论,当C不包含原点时,iArgf(z)的改变量为零,若包含原点,则需对绕向顺逆进行讨论,改变量为\(\pm 2k\pi i\),逆正顺负。

值得注意的是w=f(z),故z平面的零点对应于w平面的原点,所以上述推导仅仅推导了f(z)的零点对于幅角的贡献,至于讨论f(z)的极点对于幅角的贡献,则可以将构造的解析函数改写成

\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}^{ }-d(\frac{1}{lnf(z)})\),推导过程类似,结论和零点相反。

所以得到了柯西幅角原理,所构造的解析函数\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}^{ }\frac{{f}'(z)}{f(z)}dz=K=Z-P\),其中Z和P分别为曲线包围的零极点数,K为曲线绕原点的回转次数。

那么很自然地可以想到根据图形已知K,若Z和P一个也已知,那么另一个亦可以推得,若Z和P其中某一个为闭环函数的极点,那么再取曲线包围整个右半平面,则可以推得右半平面内闭环极点个数。

若右半平面内存在闭环极点,则系统必然不稳定。

问题就转化为了如何构造这么一个解析函数,恰好其零极点和闭环极点有关。联想到闭环特征方程为\(1+G_{0}(s)=0\),函数\(1+G_{0}(s)\)恰好其零点为闭环传递函数极点,且其极点为开环传递函数极点。

于是,取解析函数为\(1+G_{0}(s)\)时曲线包围原点,等价于取解析函数为\(G_{0}(s)\)时曲线包围(-1,j0),再根据Z=K+P即可判断系统稳定性,此即为奈奎斯特判据。

奈奎斯特判据既可以在奈奎斯特图中使用,当然也可以翻译到伯德图中使用。在开环传递函数极点在原点或是在虚轴上时,则需添画增补线。

瞬态性能:由中频段决定,而高频段决定的是对高频一般是干扰噪声的抑制作用。有带宽和截止频率,相角裕度和幅值裕度作为性能指标。

带宽越大意味着适应的信号频率范围越大,对原信号的跟踪就越快,因此瞬态响应的速度也就越快。而最后实现无误差跟踪则是类似于零状态响应和零输入响应之间的关系。

借助奈奎斯特图可以清楚地看到,所谓相角裕度,就是曲线刚好经过(-1,j0)时顺时针所需转过的角度,而幅值裕度则是曲线与实轴的交点刚好经过(-1,j0)时所需扩大的倍数。

需要注意的是角度的正负选取,逆时针为正,顺时针为负。

相角裕度翻译到时域中,若过小,则会存在相邻的谐振峰,影响时域瞬态性能,因此需要一定的相角裕度。

稳态性能:由低频段决定,开环增益对应的稳态精度实际上翻译到伯德图中就是上下平移。

频域校正

首先计算频域指标,截止频率,相角裕度,幅值裕度,然后计算校正环节的增益并根据情况选择合适的校正方式。

超前校正,利用校正装置提供超前相位,基本上是一个高通滤波器,因此会增大开环截止频率和系统带宽,改善瞬态性能。

在设计校正环节时,首先根据瞬态性能指标计算出预期的截止频率,再借助奈奎斯特图中相角裕度的定义,将最大超前角频率设计在预期截止频率附近,使相角裕度增大。

滞后校正,基本上是一个低通滤波器,相对的对高频噪声起衰减作用,会使截止频率降低,从而使相角裕度增大。

低频不衰减的特性,相对而言就是不改变传递函数的开环增益,因此滞后校正不会对系统稳态性能造成不良影响。

相比较而言。超前校正实际上是利用了校正环节来补偿原控制器的相角滞后,而滞后校正则是发掘系统原有的相角裕度。

所以滞后校正需要根据相角裕度的要求确定预期的截止频率,且相对于原始截止频率有所减小。

但滞后校正相角滞后可能引起系统的不稳定,所以最大滞后角频率应当安排在远离截止频率的位置,以此减小滞后特性对瞬态性能和稳定性的不良影响。

离散域分析与校正

离散域分析

现实中分析系统,往往是建立微分方程模型,这是考虑连续模拟的情况,然而计算机处理的是以二进制为基础的数字信号。

于是需要对信号进行A/D采样,将模拟量转化为数字量,再利用计算机对离散数字量的差分模型进行分析。

此外,数字离散方法还具有抗干扰能力强,可靠性高等优点,然而在进行数模变换的时候也会引入一定的量化误差。

可以参考离散傅里叶变换,将连续域的拉普拉斯变换,通过采样,并令\(e^{-sT}=z\)得到Z变换,其实也就是单位圆上的DFT。

而性能分析的方法和连续域类似,不同之处在于,复平面的虚轴变为了单位圆,而复平面的负无穷远处相当于单位圆的圆心,即原点。

可以画出z平面的零极图,并将系统闭环冲激传递函数看成向量的运算,并以此可以知道当有零点在单位圆外时,系统相位总是大于零点在单位圆内的,故也称零点都在单位圆内的系统为最小相位系统。

同时根据幅值关系,可以设计简单的滤波器,即校正环节,当想让某个频带通过时,就在那个频带对应的位置增设极点,想阻止某个频带通过时,就在那个频带增设零点。

\(z^{-1}\)对应延迟环节,在实际硬件设计中可以由移位寄存器实现,再加上乘法器就能根据离散传递函数,实现一个离散系统。

离散域校正

当采样频率很高的情况下,离散量和模拟量的区别可以忽略,此时可将系统等价为连续系统进行分析处理。

从频域设计离散校正环节时,可以直接进行连续域的校正环节设计,然后利用脉冲响应不变法或是双线性变换法将s域的模型转换到z域,具体可以参考IIR滤波器设计。

也可以直接设计离散域的校正环节,只不过根轨迹的连续域虚轴相当于离散域的单位圆,频域的连续域s域转变为了w域。

与连续系统不能将极点设置在负无穷远不同,在数字系统中可以将极点设置在原点,因此就有了其独特的校正方法。

但需注意的是校正环节的设计需考虑物理可实现原则,即极点数大于零点数,同时需要使闭环系统稳定。

最少拍系统是一种时间最优的控制系统,系统具有最快的响应速度,能在有限拍内结束过渡过程,并在采样时刻上无稳态误差。

考虑G(s)为连续部分,D(z)为离散校正环节,并加单位负反馈,以此构成最小拍系统并进行推导。

系统闭环传递函数为:

\(\Phi (s)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}\)(1)

考虑误差对应输入的传递函数为:

\(\Phi_{e} (s)=\frac{1}{1+D(z)G(z)}=\frac{E(z)}{R(z)}\)(2)

对应的离散采样误差为:

\(\varepsilon ^{*}(\infty )=\lim_{t\rightarrow \infty }\varepsilon ^{*}(t)=\lim_{z\rightarrow 1}(1-z^{-1})\Phi _{e}(z)R(z)\)(3)

可知误差与信号,误差传递函数有关,其中误差传递函数与设计的校正环节D(z)有关,因此考虑典型信号阶跃,斜坡,加速度,均有形式如:

\(R(z)=\frac{P(z)}{(1-z^{-1})^{m}}\)(4)

其中m与选取的典型信号有关,将(4)式代入(3)式可得:

\(\varepsilon ^{*}(\infty )=\lim_{z\rightarrow 1}(1-z^{-1})\Phi _{e}(z)\frac{P(z)}{(1-z^{-1})^{m}}\)(5)

其中P(z)与信号有关,而设计的校正环节与误差传递函数有关,为使离散稳态误差为零,则对误差传递函数有要求,使

\(\Phi _{e}(z)=(1-z^{-1})^{n}B(z),n\geq m\)(6)

为使最少拍结束过渡态,因此n须取最小值m,并选择最简形式令B(z)=1,由此得到最小拍系统。

此时,校正环节为:\(D(z)=\frac{\Phi (z)}{[1-\Phi (z)]G(z)}=\frac{1-(1-z^{-1})^{m}}{(1-z^{-1})^{m}G(z)}\)(7)

闭环传递函数为:\(\Phi (z)=\frac{Q(z)}{z^{m}}\)(8)

可知传递函数的极点设置在原点,这也是最小拍系统显著的一个特征。

实际上,推导过程中考虑的仅是输出与输入的误差在离散时刻的情况,而误差通过校正环节反映到输出虽然离散时刻为零,但是拍间存在纹波。

那么这个系统就需要重新设计校正环节,上述推导可以改进的地方在于(6)式中简单地让B(z)=1,为了消除纹波,需要重新设计一个B(z)。

将经过离散校正环节的输出信号对应的传递函数记为:

\(\Phi _{D}(z)=\frac{D(z)}{1+D(z)G(z)}=\frac{\Phi (z)}{G(z)}\)(9)

将(8)式代入(9)式得:

\(\Phi _{D}(z)=\frac{Q(z)}{G(z)z^{m}}\)(10)

知只要Q(z)包含G(z)的所有零点,则\(\Phi _{D}(z)\)的m个极点全部在z平面原点,输出信号能在最少拍到达稳态。

现代控制理论

状态空间的描述与理解

状态空间的描述

系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。

若是系统满足线性,即齐次性和叠加性,则称之为线性系统。而实际上系统往往都是非线性的,但由于线性系统的研究理论比较成熟,加上系统可以局部线性化,所以线性系统的研究可以给非线性系统一点启发。

而在经典理论中,对线性系统常用微分方程描述,微分算子运算复杂,为了简化运算,于是将其拉普拉斯变换后运算。简化了微积分运算以及卷积运算量。也就有了s域的传递函数。

但是传递函数本身的定义具有缺陷,只能描述输入-输出的关系,并且定义在零初始状态下,只适用于线性系统。

于是,卡尔曼为了解决经典理论的弊端,创造性地将状态空间引入控制理论。

这个状态空间由状态作为基底组成,系统运动的过程就是状态点在状态空间中移动的过程。所以关心它的运动轨迹(以及初始时刻,当明确了这个就相当于掌握了状态的动向,控制了系统。

所谓状态方程,就是一组用一组一阶微分方程描述系统的状态之间以及输入和状态之间的关系。

而确定状态移动轨迹,实质就是解状态方程组。

状态方程组是一个微分方程组形式,

写成向量形式为:\(\dot{x}=f(x(t),u(t))\) (1)

写成矩阵形式为:\(\dot{x}=Ax(t)+Bu(t)\) (2)

但是我们想要的往往不是状态,联想起时域时控制的目的为控制输出,所以除状态方程组外还需构建输出方程组,即输出与状态的关系。

写成向量形式为:y(t)=g(x(t),u(t)) (3)

写成矩阵形式为:y(t)=Cx(t)+Du(t) (4)

综上(2)(4)可得到线性定常系统的状态空间模型。

在描述状态空间的时候选取的状态变量不同,自然建立的数学模型也就不同。但是状态的选取必然首先和输出有关,其次状态的选取的最小的能完整描述系统的个数和系统本身的维数有关。

可以证明在选取不同状态向量完整描述整个系统的前提下,这些不同状态向量组间可以通过一个非奇异变换相互转换。

这种状态变量的非唯一性,归根到底,是由于系统结构的不确定性造成的。

代数等价的系统, 可以认为描述的是同一个系统。

而经典理论的输入输出模型和微分方程在满足一定条件下时也可以建立状态空间。为使矩阵能清晰描述系统性能,常用虚拟输出法实现能控规范型,用部分分式展开实现对角线型或若尔当型。

也可将系统划分为更小的系统,采取并联串联的方式建立状态空间。

计算机进行数字处理时,必须将连续系统离散化。

上述转化为状态空间的方法对应不同的状态组,而在计算机控制中正是根据这些方法进行状态的编程迭代。用后向差分代替求导,进而将连续模型转化为离散。

状态空间的理解

状态空间是一个线性空间,而线性空间需要借助线性代数的知识进行理解。

矩阵与变换一一对应,用矩阵描述变换,用变换解释矩阵。

那么,在状态空间中,状态就是一组基底,状态向量就是一个对应基底下的坐标,状态向量变换实质就是坐标的变换。

状态矢量的状态空间表示将矢量的代数表示和几何概念联系起来了。

不同状态向量组能描述同一个系统的本质也是就是改变基底后坐标的变换,而并没有改变这个变换本身。

(2)式中A称为系统矩阵,代表系统内部状态的联系,B称为控制矩阵或输入矩阵,代表输入对状态的作用,C称为输出矩阵。

决定状态也就是基底的数量的,也称之为系统的维数。

又由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数,因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。

状态取互不相关的才能作为基底,自然能完整描述整个系统,也就是形成的状态空间和系统等价。

可以推导系统的特征式为:

\((sI-A)^{-1}\) (5)

可以看出只与A系统矩阵有关

闭环系统的传递函数特征方程为:

\(C(sI-A)^{-1}B\) (6)

传递函数中的极点对应模态,巧的是传递函数的极点也是系统特征式的根。在不发生零极点对消的前提下,经典控制理论和现代控制理论在时域上可以相互解释。

而经典理论中,当求解传递函数过程中有时会发生零极点对消的现象。虽然从经典时域的解来说对输出没有变化,但是其本质是系统的降维,降维之后低阶系统自然不能等价于原先的高阶系统。

系统的能控性及能观性本质上就是考察系统变换矩阵有无缺维。

状态空间的求解

连续为例,离散类似,拉式变换改为z变换,微分方程求解改成迭代法。

通过对状态空间的描述,可以得到连续线性系统的状态方程为:

\(\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\) (1)

状态空间的求解实际上就是这个微分方程的求解,通过微分方程的理论可以解得:

\(x(t)=e^{At}x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau ,t\geqslant 0\) (2)

上式中第一项仅与初始状态有关,称为零输入转移,第二项仅与输入有关,称为零状态转移。

由于\(x(t)=e^{t-t_{0}}x(t_{0})\),故\(\varphi(t)=e^{At}\)称为转移矩阵。

将求解的状态代入输出方程y=Cx(t)可得输出响应:

\(x(t)=Ce^{At}x(0)+C\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau ,t\geqslant 0\) (3)

上式中第一项仅与初始状态有关,称为零输入响应,第二项仅与输入有关,称为零状态响应。

那么状态空间的求解关键在于求解转移矩阵\(\varphi(t)=e^{At}\)

首先可以联想到泰勒级数展开,将转移矩阵改写成

\(\varphi(t)=e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{k!}A^{k}t^{k}+\cdot \cdot \cdot \)(4)

适用于计算机求解,然而其表达是一个开放形式的表达式,不适合手工求解。

而由凯莱-哈密顿定理可知,任何含矩阵A的函数均能够用\(A^{n-1},…,A,I\)的线性组合来表示。

于是(4)式可改写为:

\(\varphi(t)=\alpha _ {0}(t)I+\alpha _{1}(t)A+\cdot \cdot \cdot +\alpha _{n-1}(t)A^{n-1}\) (5)

再用一遍凯莱-哈密顿定理可得:

\(\varphi(t)=e^{\lambda_ {i}t}=\alpha _{0}(t)+\alpha _{1}(t)\lambda_ {i}+\cdot \cdot \cdot +\alpha _{n-1}(t)\lambda_ {i}^{n-1}\) (6)

共有n个特征值,可以写成n个方程组,用线性代数的方法求解\(\alpha _{i}(t)\),进一步可以求得转移矩阵。

若不从线性代数的角度,而是联想拉式变换对于微分算子的应用,将其改为代数运算的形式。

将(1)式拉式变换,可得:

\(sX(s)-x(0)=AX(s)+Bu(s)\Rightarrow (sI-A)X(s)=x(0)+BU(s)\) (7)

资料[1]说明了无论A是否奇异,sI-A总是非奇异的。

则(7)式可进一步改写为:

\(X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}BU(s)\) (8)

再拉式反变换得:

\(x(t)=L^{-1}[X(s)]=L^{-1}[(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}BU(s)]\) (9)

对比(2)式

\(x(t)=e^{At}x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau ,t\geqslant 0\)

由解的唯一性可知

\(\varphi(t)=e^{At}=L^{-1}[\Phi(s)]=L^{-1}[(sI-A)^{-1}] \)(10)

(9)式零状态对应项可以借由时域卷积对应拉式变换后的乘积理解。

系统与信号可以看作是相互作用的过程,在LTI系统中时域上表现为的数学形式就称之为卷积,频域上表现为的形式就是相乘。

能控、能观性

能控性、能观性定义

形象化的能控性和能达性定义:

能控性:
如果对状态空间中某一非零的有限点x0,可以找到容许控制u(t),使得当系统以x0为初始状态,即x(t0)=x0时,在u(t)作用下,系统在某个有限时刻t1x(t1)=0。
如果空间中任意非零状态都是能控的,则称这个系统为完全能控。
能达性:
如果对状态空间中某一非零的有限点xf,存在有限时刻t1以及容许控制u(t),使得当x(t0)=0时,在u(t)作用下,系统在t1时刻有x(t1)= xf
如果空间中任意非零状态都是能达的,则称这个系统为完全能达。

并且给出了注释:

  不讨论无穷远点和坐标原点的能控性。
能控性重要的是存在输入u可使初始状态经有限时间转移到目标状态。不关心控制作用时间段[t0,t1]的长短,t1可能不唯一;输入u不唯一;对状态转移运动的轨迹形态也无规定。
容许控制:指控制信号的各分量满足平方可积条件。为了保证系统解的存在且唯一。
能控性与系统输出无关。
如果系统完全能控,则对任意给定的期望状态,从任意初始状态开始都存在控制输入u使得系统在有限时间内到达期望状态。

可证明,在线性连续时不变系统中,能控性和能达性互为充要条件。

通过对不可能观性下定义反推出能观性定义:

不能观性:
设x0为状态空间中非零有限点。将x0作为系统初始状态,即x(t0)=x0,若存在有限时刻t1>t0使得对任意tÎ[t0,t1],有y(t)=0。
若状态空间中存在不能观状态,则称系统不完全能观。

并且给出了注释:

  

在研究能观性时,只需研究零输入系统


直观上,不能观状态x0具有这样的属性:输出y(t)对以x0为初始状态导致的运动响应x0u(t)具有“过滤”作用,即x0u(t)不能被完全反映在y(t)中。

 

能控性、能观性定理证明

由能控与能观互为对偶,故仅以能控性判据证明为例。

连续系统:

能控性格拉姆矩阵判据:线性定常系统\(\dot{x}=Ax(t)+Bu(t)\)完全能控的充要条件是:

存在t1>0,使 \(W_{c}[0,t_{1}]=\int_{0}^{t_{1}}e^{-At}BB^{T}e^{-A^{T}t}dt\)成为非奇异矩阵。

证明:

先证充分性:

存在t1>0,使 \(W_{c}[0,t_{1}]=\int_{0}^{t_{1}}e^{-At}BB^{T}e^{-A^{T}t}dt\)成为非奇异矩阵,则\(W_{c}\)可逆

又由线性系统的解可知

\(x(t_{1})=e^{At_{1}}x_{0}+\int_{0}^{t_{1}}e^{A(t_{1}-t)}Bu(t)dt\)

不妨令\(u(t)=-B^{T}e^{-A^{T}t}W_{c}^{-1}x_{0}\)代入

可得\(x(t_{1})=0\)

\(x_{0}\)任意性可知系统完全能控,充分性得证

再证必要性

由线性系统的解可知

\(x(t_{1})=e^{At_{1}}x_{0}+\int_{0}^{t_{1}}e^{A(t_{1}-t)}Bu(t)dt\)

系统完全能控,即对任意\(x_{0}\),存在t1>0,使\(x(t_{1})=0\)

\(\Rightarrow x_{0}=-\int_{0}^{t_{1}}e^{-At}Bu(t)=0\)

假设,对任意\(t_{1}\),\(W_{c}^{-1}\)始终为奇异矩阵,即有特征值0,对应非零特征向量\(x_{0}\),有\(W_{c}x_{0}=0\)

\(x_{0}^{T}W_{c}x_{0}=x_{0}^{T}\int_{0}^{t_{1}}e^{-At}BB^{T}e^{-A^{T}t}dtx_{0}\)

\(=\int_{0}^{t_{1}}\left | B^{T}e^{-A^{T}t}x_{0} \right |^{2}dt=0\)

\(\Rightarrow B^{T}e^{-A^{T}t}x_{0} =0\)

则有

\(\left | x_{0} \right |^{2}=x_{0}^{T}x_{0}=-\int_{0}^{t_{1}}u^{T}(t)B^{T}e^{-A^{T}t}x_{0}dt=0\)

\(\Rightarrow x_{0}=0\)

与假设矛盾,必要性得证


能控性代数判据:n维线性定常系统\(\dot{x}=Ax(t)+Bu(t)\)完全能控的充要条件是:

\(rankQ_{c}=rank[B \ AB \cdot \cdot \cdot \ A^{n-1}B]=n\)。

证明:

法一:先证充分性

反证法,假设系统不完全能控,即\(W_{c}\)奇异

则存在非零向量\(\alpha\),使得

\(\alpha^{T}W_{c}\alpha =\int_{0}^{t_{1}}[\alpha ^{T}e^{-At}B][\alpha ^{T}e^{-At}B]^{T}dt=0\)

\(\Rightarrow \alpha ^{T}e^{-At}B=0,\forall t\in [0,t_{1}]\)

令t=0,得\(\alpha ^{T}B=0\)

求导,并令t=0,得\(\alpha ^{T}AB=0\)

类似,可推得\(\alpha ^{T}A^{n-1}B=0\)

上述式子合并得

\(\alpha ^{T}[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]=0\)

\(\alpha\)非零向量,故\(rank[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]<n\)

与初始假设矛盾,故充分性得证

再证必要性

反证法,假设\(rankQ_{c}<n\)

则存在非零向量\(\alpha\),使得

\(\alpha ^{T}[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]=0,i=0,1,…,n-1\)

又由凯莱-哈密顿定理可以推至

\(\alpha ^{T}[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]=0,i=0,1,…,n-1,n,n+1,…\)

可以得到\(e^{-At}B=0\)

于是可以反推得到

\(\alpha^{T}W_{c}\alpha =\int_{0}^{t_{1}}[\alpha ^{T}e^{-At}B][\alpha ^{T}e^{-At}B]^{T}dt=0\)

\(\Rightarrow W_{c}\)非奇异

系统完全能控,与初始假设矛盾,故必要性得证

法二:

线性系统的解为

\(x(t_{1})=e^{At_{1}}x_{0}+\int_{0}^{t_{1}}e^{A(t_{1}-t)}Bu(t)dt\)

根据能控性定义,对任意\(x_{0}\),存在t1>0,使\(x(t_{1})=0\)

\(\Rightarrow x_{0}=-\int_{0}^{t_{1}}e^{-At}Bu(t)dt=0\)

根据凯莱-哈密顿定理有

\(e^{-At}=\alpha_{0}I+\alpha_{1}A+\cdot \cdot \cdot +\alpha _{n-1}A^{n-1}\)

代入得

\(\Rightarrow x_{0}=-\int_{0}^{t_{1}}(\alpha_{0}I+\alpha _{1}A+\cdot \cdot \cdot +\alpha _{n-1}A^{n-1})Bu(t)dt=0\)

\(\Rightarrow x_{0}=-\int_{0}^{t_{1}}(B\alpha_{0}+AB\alpha _{1}+\cdot \cdot \cdot +A^{n-1}B\alpha_ {n-1})u(t)dt=0\)

写成矩阵形式为

\(-x_{0}=[B\ AB\ \cdot \cdot \cdot\ A^{n-1}B ]\begin{bmatrix}
\int_{0}^{t_{1}}\alpha_{0}u(t)dt\ \int{0}^{t_{1}}\alpha _{1}u(t)dt\
\cdot \cdot \cdot \ \int_{0}^{t_{1}}\alpha _{n-1}u(t)dt\end{bmatrix}^{T}=0\)

根据能控性定义,\(x_{0}\)可在整个状态空间中任意选取,且u(t)可以自由控制

则\(rank[B\ AB\ \cdot \cdot \cdot\ A^{n-1}B ]=n\)

代数判据得证


n维线性定常系统\(\dot{x}=Ax(t)+Bu(t)\)完全能控的充要条件是:

能控性PBH特征值判据:对矩阵A所有特征值\(\lambda _{i},i=1,\cdot \cdot \cdot ,n\)均满足\(rank[\lambda _{i}-A \ B]=n\)。

能控性PBH特征向量判据:对矩阵A所有特征值\(\lambda _{i},i=1,\cdot \cdot \cdot ,n\)均不存在\(\alpha ^{T}A=\lambda _{i}\alpha ^{T},\alpha ^{T}B=0\).

证明:显然特征值判据和特征向量判据等价,故只证特征向量判据

先证必要性,已知系统完全能控,由代数判据知

\(rank[B\ AB\ \cdot \cdot \cdot\ A^{n-1}B ]=n\)

假设存在\(\alpha ^{T}A=\lambda _{i}\alpha ^{T},\alpha ^{T}B=0\)

则\(\alpha ^{T}AB=\lambda _{i}\alpha ^{T}B=0\)

\(\alpha ^{T}A^{2}B=\lambda _{i}^{2}\alpha ^{T}B=0\)

类似可得

\(\alpha ^{T}A^{n-1}B=\lambda _{i}^{n-1}\alpha ^{T}B=0\)

上述式子合并得

\(\alpha ^{T}[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]=0\)

\(\alpha\)非零向量,故\(rank[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]<n\)

由代数判据知与初始假设矛盾,故充分性得证

再证必要性,

反证法,假设系统不完全能控,则由代数判据知

\(rank[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]<n\)

即存在非零向量\(\alpha\)使得\(\alpha ^{T}[B\ AB \cdot \cdot A^{n-1}B]=0\)

可反推至\(rank[\lambda _{i}-A \ B]<n\),\(\lambda _{i}\)为矩阵\(A^{T}\)对应特征向量\(\alpha\)的特征值。

与条件矛盾,故假设错误,必要性得证


采样系统:

能控性代数判据:n维线性定常系统\(x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\)完全能控的充要条件是:

\(rank[H \ GH \cdot \cdot \cdot \ G^{n-1}H]=n\)。

证明:过程类似连续性可得,将解写成离散卷积形式


能控性PBH特征值判据:n维线性定常系统\(x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\)完全能控的充要条件是:

对矩阵G所有特征值\(\lambda _{i},i=1,\cdot \cdot \cdot ,n\)均满足\(rank[\lambda _{i}-G \ H]=n\)。

证明:过程类似连续性可得


能控性PBH特征向量判据:

证明:过程类似连续性可得

能控性、能观性定理理解

能控性是控制输入对状态的影响,而能观性是反应状态对输出的影响。正因为如此,能控性和能观性有着对偶原理。

完全能控意味着每一个状态都能被输入控制影响,最终趋于平衡态,那么这个初始状态任意。

所以,总的来看,能控性、能观性考虑的是初始状态的任意性。

但是状态空间的本质仍应由线性代数知识进行理解。

而从方程组的角度来看,能控性,即在已知初始状态的条件下反求输入矩阵有解,能观性,即在已知输出矩阵的条件下反推初始状态有解。

若初始状态可以充斥整个状态空间,则称为完全。

借先证明格拉姆矩阵,然后用这个已知结论作为条件推得其他判据的,这样理解上没有问题,但是技巧性很高。

第一个提出格拉姆矩阵判据的人,应当是由线性系统的解,反推输出有解,倒推判据可逆得到的比较合理。

而提出格拉姆矩阵的由来一方面可能是考虑到方便构造李雅普诺夫函数,另一方面可能是利用格拉姆矩阵求得列向量的内积。

系统矩阵A代表整个系统特征,A能够在特征值下分解成一些特征向量,作为基底构建着状态空间。至于其在某个“方向”上缺失,若可以用B矩阵补充,则仍满足能控性。

至于能观性,由对偶原理,若其在某个“方向”上缺失可以用C矩阵补充,则仍满足能观性。

至于四个等价证明的判据之间,亦可以借助凯莱-哈密顿定理和零-空间理论,相互转换。

那些\(\alpha\)向量作为基底组成了零空间,同时也恰是状态空间缺失的“方向”。

均可以反设零空间存在且不能被补充,反证相关定理。

传递函数的描述与表征

概述

传递函数在以输入-输出为主的经典理论中有着不可替代的作用,同时在时域上,和以状态空间为主的现代控制理论又有着许多交集。只有能够自如地解释相互间的联系,才算得上对理论的成功把握。

传递函数的特殊情况是发生零极点对消的现象,称发生零极点对消,意味着系统不能完全由输入输出模型,即传递函数来表征。

而又有资料表明当传递函数不可简约时,传递函数亦是对系统结构的一种不完全描述。

这二者似乎相矛盾,而实际上并不然,所以关于这两点的理解以及接触到传递矩阵和能控能观性的关系,在此做一个整理。

表征

曾指出经典控制理论的局限之一就在于不能判定系统中间变量是否稳定,而引入状态空间可以很好的解决这个问题。

事实上闭环传递函数

\(G(s)=C(sI-A)^{-1}B\)

而系统的特征方程为

\(\alpha(s)=det(sI-A)^{-1}\)

矩阵C和B可能使矩阵发生降维使输入-输出稳定性不代表内部稳定,假如对消的零极点在右半平面,则虽然输入-输出稳定,但内部则不稳定。

何为降维?即系统原是n阶系统,闭环传递函数特征方程阶数相同,最后实现为状态方程的时候才与原系统等价。试想特征方程阶数小于n,则无论如何,由传递函数最小实现的状态方程显然和原先的系统不等价。

这个等价,则称之为系统可以由传递函数完全表征。

而若不能完全表征,则系统必然存在不能控或不能观状态,显然系统的各项性能无法由传递函数得到保证。

描述

曾指出系统矩阵A代表整个系统特征,A能够在特征值下分解成一些特征向量,作为基底构建着状态空间。至于其在某个“方向”上缺失,若可以用B矩阵补充,则仍满足能控性。

事实上,给出能控性的另一种判据,若系统完全能控,则传递矩阵\((sI-A)^{-1}B\)行向量线性无关。

同样,若系统完全能观,则传递矩阵\(C(sI-A)^{-1}\)列向量线性无关。

亦可以但从能控性的定义去理解,从方程组的角度来看,能控性,即在已知初始状态的条件下反求输入矩阵有解,能观性,即在已知输出矩阵的条件下反推初始状态有解。

完全意味着初始状态充满整个状态空间。

将能控能观结合起来,则若\(G(s)=C(sI-A)^{-1}B\) 不降维,即传递函数不发生零极点对消,显然系统完全能控能观。逆向思维,系统完全能控能观的那部分才能决定闭环传递函数。

闭环传递函数只与能控能观的状态部分相关,这点也可以通过状态空间的结构分解得到证明。

若系统不完全能控或能观,则不可简约型传递函数只能描述系统中可控且可观的部分,至于其余的部分则无法描述。

当然,无法完全描述系统结构,也可以从降维的角度进行理解。系统发生了降维,实际上的不可简约型传递函数是分子分母对消后至最简的形式。

总结

经典理论中的传递函数,若不发生零极点对消的情况,系统性能可以由传递函数表征。

而发生零极点对消后至不可简约,传递函数是对原有系统结构的不完全描述。

前者是从传递函数理解状态空间,后者是从状态空间理解传递函数,本质上其实是同一个意思。

极点配置的定理证明和算法设计

概述

经典控制理论中,闭环传递函数的极点影响着系统运动的模态,要求稳定即使极点全部具有负实部。

同时,极点的分布也影响着运动的瞬态性能,所以理想的办法是根据预期的性能设定相应的指标,求解极点的分布。

利用根轨迹校正法,可以通过在开环系统中增设零点的办法使整个根轨迹向左移动,从而增加系统的相对稳定性,减少系统的调节时间。

而在现代控制理论中,改变极点的分布称之为极点配置,可以通过引入反馈实现。将系统由不稳定变为稳定的过程也称之为“镇定”。

线性定常系统状态空间模型为:

\(\dot{x}=Ax+Bu\)

\(y=Cx\)

基于状态反馈的极点配置

若将状态作为反馈变量形成负反馈,可记:

\(u=-Kx+Rv\)

其中K为状态反馈增益矩阵,R为前馈增益矩阵,目的是使系统稳态误差为零,v为参考输入

代入,可得状态反馈后的系统状态空间模型:

\(\dot{x}=(A-BK)x+BRv\)

\(y=Cx\)

系统特征式为

\(det(sI-A+BK)=\alpha _{n}(s-\lambda _{1}^{*})(s-\lambda_ {2}^{*})\cdot \cdot \cdot(s-\lambda_ {n}^{*}) \)

其中,\(\lambda _{i}^{*}\)为期望的闭环极点,此为极点配置的算法1。

状态反馈形成的闭环系统为\(\sum (A-BK,BR,C)\)

若R为非奇异方阵,则可得

\(rank[\lambda I-A+BK\ \vdots\ BR ]=rank[\lambda I-A\ \vdots\ B]\)

由能控性特征值判据可知,状态反馈不会改变系统的能控性。

然而状态反馈可能改变系统的能观性。

可以证明极点配置定理,即线性定常系统通过状态反馈可以任意配置闭环系统极点的充分必要条件是系统完全能控。

再结合状态变换不会改变系统的特征值,可先将完全能控的系统化为能控规范型,求出相应的状态反馈增益矩阵\(\bar{K}\),再反求原状态反馈增益矩阵K,此为极点配置的算法2。

若系统为不完全能控系统,则可以根据状态空间分解将其分为能控子空间和不能控子空间,能控子空间的极点可以由状态反馈任意配置。

因此,一个系统可以用状态反馈进行镇定的充要条件是其不能控子系统的极点都在复平面的左半平面。

若不发生零极点对消情况的话,状态反馈不改变系统闭环传递函数的零点。由于能控规范型和传递函数一一对应,因此这点可以通过非奇异变换化为能控规范型理解。

基于输出反馈的极点配置

若将状态作为反馈变量形成负反馈,可记:

\(u=-Fy+Rv\)

其中F为输出反馈增益矩阵,代入,可得输出反馈后的系统状态空间模型为:

\(\dot{x}=(A-BFC)x+BRv\)

\(y=Cx\)

亦可以起到改变系统传递函数的作用,实际上,可以设K=FC,故输出反馈的功能同样可以用状态反馈来实现,但反过来却不一定。

输出反馈形成的闭环系统为\(\sum (A-BFC,BR,C)\)

可得\(rank[\lambda I-A+BFC\ \vdots \ BR]=rank[\lambda I-A\ \vdots \ B]\)

由能控性特征值判据可知输出反馈不会改变系统的能控性。

且\(rank[\lambda I-A+BFC\ C]^{T}=rank[\lambda I-A\ C]^{T}\)

故由能观性特征值判据可知输出反馈不会改变系统的能观性。

输出反馈只能将闭环系统的极点配置在根轨迹上,而不能任意配置。

状态观测器的算法设计

概述

现代控制理论将状态空间引入后,为了实时描述相轨迹,自然想到的是将每一个状态的值实时测量显示。

实际中需要用传感器对规定的状态,也就是用到的变量进行测量转化为电气量,然后由AD转换器送入计算机进行离散化观测。

由于传感器成本相对较高,并且某些状态难以被传感器精准测量,于是传统的传感器测量状态方案弊端显现。

为了克服这个弊端,人们联想到可以用软件的办法构造一个模拟系统,而里面的状态变量可以用编程语言进行控制。

就相当于构建一个原系统的仿真模型,那么这个模型中状态变量的取值实际上就是原系统中的取值。

这个方法有一个前提,需要原系统的参数已知,如已知连续线性系统的A,B,C,D。

这个设计的模型,也是一个系统,称之为状态观测器。

全维状态观测器

独立的状态作为基底,组成了状态空间,如果设计的观测器需要观测所有的状态,则称为全维状态观测器。

原系统为

\(\dot{x}=Ax+Bu\)

依据原系统参数,观测器设计为:

开环观测器:\(\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu\)

带来的问题是,若初始状态不一致,则即使系统参数一致,原系统和观测器的状态在同一时间也不一定相同。那么这就失去了作为观测器的作用。

回想起使系统渐进稳定的知识,而设计观测器的目的换个角度思考不正是让系统状态误差最小,即能完成自动跟随吗?

那么只要定义状态之差为新的状态变量使其最终趋于平衡态即可。

注:此处用到了性能度量,或许也可以使用LMS,或可引入机器学习。

\(\dot{\hat{x}}-\dot{x}=A(\hat{x}-x)\)

可设定平衡态为原点,实际上可以理解为状态代表的基底平移并不改变向量本身。

那么控制的目标就是使新的系统渐进稳定,问题就转化为了如何使这个新的系统镇定。

显然需要配置极点,由于输出信号可以直接测量,故可以采取输出反馈。

\(\dot{\hat{x}}-\dot{x}=A(\hat{x}-x)+H(y-\hat{y})\)

将原系统状态方程可得全维状态观测器方程:

预报观测器:\(\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+H(y-\hat{y})\)

系统完全能控则可以任意配置极点,故由对偶原理知,若系统完全能观,则一定能设计全维观测器满足目的,即其极点可以任意配置。

反馈增益矩阵的算法亦可以利用对偶原理转化成极点配置的算法,其实区别就在于能控能观标准型转化的矩阵不同。

降维观测器

状态描述着空间的某个“方向”,而通过输出可以得到状态空间的一些蕴含着方向的信息。

从输出矩阵C中,我们总可以得到关于状态的rankC个方向信息,那么我们需要观测的状态实际上只需n-rankC个。

这种观测器称之为降维观测器。

降维观测器相比于全维观测器需要多进行些处理,其原因在于部分状态信息须由输出中提取。

可以将通过状态变换将输出矩阵变为,对应m个能反映的状态\(x_{1}\)。

而剩余的状态\(x_{2}\)则类似于构建一个全维观测器,原理相同,采取极点配置的方法设计反馈增益阵。

但考虑到剩余状态组成的子系统输出与原系统输出量的微分有关,会使信噪比降低,于是引入变换\(\hat{x_{2}}=z+Hy\)加以修正。

分离定理

引入状态观测器带来了新的问题,就是系统的维数变得更高,整个闭环系统的瞬态性能和稳定性变得更加难以捉摸。

以带全维观测器的反馈控制系统为例推导状态反馈于观测器设计的分离性原理:

原系统:

\(\dot{x}=Ax+Bu\)

\(y=Cx\)

引入全维状态观测器:

\(\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+H(y-\hat{y})\)

\(\hat{y}=C\hat{x}\)

引入状态反馈:

\(u=-k\hat{x}+Rv\)

整个系统为2n维系统,取n维状态为:

x

另n维状态为:

\(x-\hat{x}\)

则系统特征式为:

\(\alpha(s)=det(sI-A+BK)det(sI-A+HC)\)

整个系统特征值由状态反馈和状态观测两个部分组成,彼此不影响,于是设计带状态观测器的反馈系统可以分两步进行。

且不完全能控子系统的传递函数等于其能控子系统的传递函数,所以状态观测器的引入,并没有改变闭环系统的传递函数。

状态观测器实际上是构建了一个新的系统,当这个系统镇定时,观测器就发挥了作用。

因此设计一个全维状态观测器不需要整个系统可观,若系统不可观部分状态对应的特征值实部为负时,观测系统总可镇定。

综合设计

由分离定理知系统的增益反馈矩阵和观测器的增益反馈矩阵可以单独设计,而实际期望的瞬态性能取决于增益反馈矩阵的设计。

因此,系统的增益反馈矩阵对应的极点应当为系统的闭环主导极点,而观测器的增益反馈矩阵是用于对状态进行重构,其速度应远大于瞬态响应的速度,特殊地可以将其极点全部配置在原点。

在综合设计求状态观测器的增益反馈矩阵时还需综合考虑所选取的类型,降维观测器虽有简化,但全维观测器还能起到一定的滤波作用,在噪声干扰严重时常选取全维观测器。

此外,任意配置观测器的极点是建立在系统完全可观的基础上,若不完全可观,则需考虑些新的方法。

总结与展望

这些内容包含了很多教材以外的思考总结,也参考了许多前辈的理解,欢迎大家前来交流。

同时也对引导我自动控制入门的前辈表达真挚的感谢。

个人觉得,这些自动控制原理很多年前或许也是研究的热门,而现在成为了基础。但我们不应当将其作为基础来学,而应了解其来龙去脉,才能加深理解并有所创新。

著名如瓦特,李雅普诺夫,卡尔曼,贝尔曼等,他们的思维其实也是建立在逻辑之上。我们应当学的是这种逻辑,并能够迁移应用。

希望本文的内容对你有些许启发或是帮助,若是转载请注明出处,谢谢。

——黑帅

2020.04.29

By gzj7108

人生只有一条路,就是勇往直前。

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