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线性时不变系统

Part 1 : 线性系统的概念

控制理论中,控制系统接收输入,产生响应,而在经典控制理论只研究单输入,单输出的系统,并且这个控制系统较为理想化一般是线性时不变系统,也称为线性定常系统,即“LTI系统”。

那么究竟什么是线性系统呢?下面给出线性系统的通用定义:

线性,分为齐次性和叠加性,假设我们输入为\(x(t)\),系统产生的响应为\(y(t)\)。那么齐次性指的就是,如果输入为\(k\times x(t)\),则系统产生的响应为\(k\times y(t)\);而叠加性指的是,如果输入为\(x_{1}(t)+x_{2}(t)\),则系统产生的响应为\(y_{1}(t)+y_{2}(t)\)。

只有满足齐次性和叠加性的系统,才被称为线性系统,否则称为非线性系统。

那么对于线性系统,我们只需要考虑冲激信号或是阶跃信号产生的响应即可,因为任何信号都可以看作是二者的加权组合。

Part 2 : 时不变系统的概念

时不变,顾名思义,系统的参数不随时间的变化而变化,这样就给我们研究系统带来很大的便利。

时不变的性质,意味着不同时间段输入同一个信号,它们各自产生响应波形应该是相同的,用数学的语言可以描述如下:

仍假设输入为\(x(t)\),系统产生的响应为\(y(t)\),那么\(t_{k}\)时刻的输入为\(x(t-t_{k})\),对应的响应应当为\(y(t-t_{k})\)。

Part 3 :卷积形式的推导

任何信号都可以看作是冲激信号的加权组合,借助线性时不变系统的定义,我们可以推导出卷积的数学形式。

冲激信号产生的响应为冲激响应:

\(\delta(t)\rightarrow h(t)\)

根据时不变性,不同时刻\(t_{k}\)的冲激信号产生的响应为:

\(\delta(t-t_{k})\rightarrow h(t-t_{k})\)

而输入信号x(t)可以拆解成冲激信号在不同时刻的加权叠加:

\(x(t)=\sum x(t_{k})\times\delta(t-t_{k})\)

根据线性时不变系统的线性可以得到信号产生的响应为:

\(x(t)\rightarrow \sum x(t_{k})\times h(t-t_{k})\)

这个数学形式就被称为“卷积”,也记作\(y(t)=x(t)*h(t)\)。

很多人看到卷积,都会望而却步,但实际上它就是在线性时不变系统下借助冲激信号定义推导得到的一个数学形式,仅此而已。

Part 4 :卷积形式的理解

讲完形式上的推导,可以借助于实际讲一下卷积的理解,相信很多人都听过打巴掌的例子。我打你一下巴掌,你感觉到疼痛,过一段时间再打你一下,你可能上次的疼痛还未过去,便又增加了新的疼痛。

那么实际上,可以假设你是一个LTI系统,那么每一下巴掌就相当于是冲激信号\(\delta(t)\),你的疼痛是对应产生的冲激响应\(h(t)\)。我在不同时刻打你的巴掌,就相当于是在不同时刻给你这个系统输入冲激信号。

而你又是时不变的,这意味着关于你被打的那个巴掌产生的疼痛仅与过去的时间\(t-t_{k}\)有关,并且如果巴掌力度相同的话,那么每个巴掌产生的疼痛\(h(t-t_{k})\)衰减的速度是一样快的。

那么现在需要求你当前的疼痛,也就是这么多巴掌\(\sum x(t_{k})\times\delta(t-t_{k})\)输入你这个系统之后产生的响应,你是线性的,所以可以把他们都叠加起来\(\sum x(t_{k}) \times h(t-t_{k})\)。

这就是卷积。

!如果你关于经典控制理论有更多启发性的问题或是感悟,欢迎来论坛留言。

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