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傅里叶分析

!为了看懂本篇文章,需要阅读线性时不变系统,并理解响应的卷积形式。

Part 1 : 复指数信号

线性时不变系统中,我们将信号分解成一系列的冲激信号,从而得到了响应的卷积形式,那么不禁引起人们的思考,难道只有这一种分解方式吗?

当然,还可以分解成阶跃信号,除了这个呢?人们观察到信号有些是有周期的,有些是没有周期的。那么能不能将所有的信号分解成比较特殊的周期信号,比如三角函数呢?

傅里叶指出任何一个周期函数都可以用三角级数表示,然而太过宽泛,狄里 赫利进一步给出了精确的条件。只有满足狄里赫利条件时,一个周期函数才可以展开为傅里叶级数。

这样我们就从研究信号的时域,变成了研究信号的周期域(可能不太恰当),而周期和频率又是互为倒数的关系,因此问题转变为了研究信号的频域。

再根据伟大的欧拉公式:\(e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta\),三角函数和复指数信号存在一一对应的关系,为此,我们可以研究信号分解为复指数信号后的数学推导。

Part 2 : 傅里叶级数

那么为什么选取复指数信号作为特征信号呢?

维纳在《控制论》中曾推导了函数族\(e^{j\theta}、Acos\theta+Bsin\theta\)在平移下是不变式,并且我们还可以推导出复指数信号是线性时不变系统的特征函数。

我们在之前的线性时不变系统中推导了离散信号的卷积形式:

\(y(t)=\sum x(t_{k}) \times h(t-t_{k})=x(t)*h(t)\)

那么类似的,我们可以将信号利用冲激函数的采样性质写成:

\(x(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )dt\)

然后借助于线性时不变的性质推导出连续信号的卷积响应形式:

\(x(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h (t-\tau )d\tau=x(t)*h(t)\)

我们为了研究分解为复指数信号的响应表现,令\(x(t)=e^{st}\)可以推得:

\(y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{s(t-\tau)}h (\tau )d\tau=e^{st}\int_{-\infty }^{+\infty }h (\tau )e^{-s\tau}d\tau=e^{st}H(s)\)

从中可以看出复指数函数是LTI系统的特征函数,那么输入信号转换为一系列基本复指数信号的组合,然后根据组合的加权系数的输出即为响应。

由上述推导可知问题的关键在于将 x(t)分解成基本信号的加权组合形式。

我们首先考虑周期信号,比如基波和各次谐波组成的复指数信号组合:

\(x(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk\omega_{0}t}=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk\frac{2\pi }{T}t}\)

只需求解出加权系数ak,即可以得到响应表达式。我们利用复指数信号的正交性(三角函数的正交性),将x(t)乘以\(e^{-jn\omega_{0}t}\),再从0到T积分,可得:

\(\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega {0}t}dt=\int_{0}^{T}\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{-j(k-n)\omega _{0}t}dt\)

积分可以理解为无穷微量和之极限,级数可以理解为和,那么两者运算顺序相交换并不影响最后结果,于是交换积分与级数次序可得:

\(\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega {0}t}dt=\sum_{-\infty }^{+\infty }\int_{0}^{T}a_{k}e^{-j(k-n)\omega _{0}t}dt\)

由复指数信号正交性,仅k=n时,\(\int_{0}^{T}e^{-j(k-n)\omega _{0}t}dt=T\) ,因此有:

\(\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega {0}t}dt=a_{n}T\)

可解得加权系数an:视频中这块的n和k有一些错误,以文字内容为主

\(a_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega _{0}t}dt\)

再代入x(t)表达式,可以得到一个周期内连续时间信号的傅里叶级数:

\(x(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk\omega_{0}t}=\sum_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega _{0}t}dt}e^{jk\frac{2\pi }{T}t}\)

Part 3 : 相关应用

一个正弦波,在时域中是一个周期信号,而在频域中,只有一条线段,这就给我们研究信号提供了另一个特征切入。

我们可以利用频域变换,将信号及其运算变换到频域,这样时域的积分微分运算,在频域就是乘除一个频域算子(拉普拉斯为s,傅里叶为jw),时域的卷积就是频域的相乘,大大简化了运算形式。

在数字中,利用FFT算法将时域信号采样然后转换到频域,可以提取正弦信号的幅值、相位、频率。

现实生活中很多噪声都是周期性的,我们可以在频域进行分析,然后通过设计合适的滤波器,滤除噪声频率段的信号,从而保证信号的质量。

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